درس المتتابعات والمتسلسلات الحسابية.. قانون مجموع المتسلسلة الحسابية
تعتبر المتتابعات والمتسلسلات الحسابية من أكثر المفاهيم الهامة في علم الرياضيات، ويتم استخدامها بشكل واسع في الكثير من المجالات مثل الفيزياء والهندسة والاقتصاد، ومن خلال فهم القوانين التي تحكمها يمكننا تبسيط العمليات الحسابية وتفسير مختلف الأنماط العددية.
المتتابعات والمتسلسلات الحسابية
- المتتابعة الحسابية هي تسلسل من الأعداد بحيث يصبح الفرق بين كل عدد والذي يليه ثابتًا، ويٌطلق عليه "الفرق المشترك" مثل 2، 5، 8، 11.
- عادة يُرمز لأول حد في المتتابعة بالرمز a، والفرق المشترك بالحرف d، كما يمكن إيجاد الحد النوني باستخدام العلاقة an=a+(n−1)d.
- المتسلسلة الحسابية هي مجموع كافة حدود المتتابعة الحسابية، مثل 2+5+8+11، ويتم استخدامها لحساب مجموعة متسلسلة من الأعداد المرتبة بانتظام.
- الفرق بين المتتابعة والمتسلسلة هو أن الأولى ترمز إلى ترتيب الأعداد، بينما الثانية تركز على مجموعها.
قانون مجموع المتسلسلة الحسابية
- لحساب مجموع أول n حدًا من متتابعة حسابية يجب استخدام القانون Sn=2n(2a+(n−1)d).
- يرمز S إلى إجمالي المجموع، a هو الحد الأول، d الفرق المشترك، n هو عدد الحدود.
- يمكن أيضًا الاعتماد على الصيغة البديلة وهي Sn=2n(a+an)، إن كان الحد الأخير معلوم فقط.
- هذا القانون يفيد في حساب مجموع الأعداد الكبيرة بسرعة دون الاحتياج إلى جمعها يدويًا، الأمر الذي يوفر لنا الوقت ويقلل من احتمالية الخطأ.
- يُستخدم في مسائل الحياة اليومية، مثل حساب المدخرات المنتظمة أو مجموع الرواتب الشهرية.
قوانين المتسلسلات الحسابية والهندسية
- تختلف المتسلسلة الهندسية عن الحسابية بأن كل حد فيها يتم ضربه في نسبة مشترك إلى أن يتم الوصول إلى الحد التالي، مثل 3، 6، 12، 24.
- مجموع أول حد من المتسلسلة الهندسية n يُحب بالقانون Sn=a⋅1−r1−rn، ولكن في حال كانت r لا تساوي 1، إذ أن a هو الحد الأول وr النسبة المشتركة.
- بينما إن كان المتسلسلة لا نهائية وr أصغر من 1، فإن مجموعها يُحسب بالقانون S=a÷r-1 والتي يتم استخدامها في التطبيقات المالية.
- معرفة الفرق بين الحسابية والهندسية من الأمور الهامة لاختيار القانون المناسب حسب النمط العددي المعطى في المسألة.
فهم المتتابعات والمتسلسلات وقوانينها يعطينا أدوات قوية لحل مسائل رياضية واقعية ومعقدة بدقة وسهولة، وتطبيق هذه القوانين يساعدنا في تحليل الأنماط العددية وإجراء الحسابات بكفاءة عالية.